Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 297 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость катера (в км/ч). Скорость течения реки равна \( 2 \) км/ч.

Скорость катера по течению (из А в В): \( v + 2 \) км/ч.

Скорость катера против течения (из В в А): \( v - 2 \) км/ч.

Время движения из А в В: \( t_{AB} = \frac{297}{v+2} \) часов.

Время движения из В в А: \( t_{BA} = \frac{297}{v-2} \) часов.

По условию, на обратный путь (против течения) было затрачено на 3 часа меньше:

\[ t_{BA} = t_{AB} - 3 \]\[ \frac{297}{v-2} = \frac{297}{v+2} - 3 \]\[ \frac{297}{v-2} - \frac{297}{v+2} = -3 \]\[ \frac{297(v+2) - 297(v-2)}{(v-2)(v+2)} = -3 \]\[ \frac{297v + 594 - 297v + 594}{v^2 - 4} = -3 \]\[ \frac{1188}{v^2 - 4} = -3 \]\[ 1188 = -3(v^2 - 4) \]\[ 1188 = -3v^2 + 12 \]\[ 3v^2 = 1188 - 12 \]\[ 3v^2 = 1176 \]\[ v^2 = \frac{1176}{3} \]\[ v^2 = 392 \]

\( v = \sqrt{392} \)

\( v = \sqrt{196 \cdot 2} = 14\sqrt{2} \)

Скорость катера должна быть больше скорости течения, чтобы он мог двигаться против течения. \( 14\sqrt{2} \approx 14 \cdot 1.414 = 19.796 \) км/ч, что больше 2 км/ч.

Ответ: $$14\sqrt{2}$$ км/ч.