Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 72 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом!

Что нам известно:

• Расстояние от пункта А до пункта В: $$ S = 72 $$ км.
• Скорость течения реки: $$ v_{течения} = 3 $$ км/ч.
• На обратный путь катер потратил на 2 часа меньше, чем на путь туда.

Что нужно найти:

• Собственную скорость катера ($$ v_{собственная} $$).

Логика решения:

Когда катер плывет по течению, его скорость увеличивается на скорость течения. Когда плывет против течения, его скорость уменьшается на скорость течения.

Пусть $$ v_{собственная} $$ — это собственная скорость катера (та, с которой он бы плыл по стоячей воде).

1. Скорость катера по течению:

Когда катер плывет по течению (например, из А в В), его скорость будет: $$ v_{по\text{ течению}} = v_{собственная} + v_{течения} $$. В нашем случае: $$ v_{по\text{ течению}} = v_{собственная} + 3 $$ км/ч.

2. Скорость катера против течения:

Когда катер плывет против течения (например, обратно из В в А), его скорость будет: $$ v_{против\text{ течения}} = v_{собственная} - v_{течения} $$. В нашем случае: $$ v_{против\text{ течения}} = v_{собственная} - 3 $$ км/ч. Важно: $$ v_{собственная} $$ должна быть больше $$ 3 $$, чтобы катер вообще мог двигаться против течения.

3. Время в пути:

Мы знаем, что время = расстояние / скорость.

• Пусть $$ t_1 $$ — время, которое катер потратил на путь из А в В.
• Пусть $$ t_2 $$ — время, которое катер потратил на обратный путь из В в А.

Из условия задачи мы знаем, что обратный путь занял на 2 часа меньше: $$ t_2 = t_1 - 2 $$.

Мы также знаем, что расстояние одинаковое, поэтому:

• $$ t_1 = \frac{72}{v_{по\text{ течению}}} = \frac{72}{v_{собственная} + 3} $$
• $$ t_2 = \frac{72}{v_{против\text{ течения}}} = \frac{72}{v_{собственная} - 3} $$

4. Составляем и решаем уравнение:

Подставляем выражения для времени в наше уравнение $$ t_2 = t_1 - 2 $$:

$$ \frac{72}{v_{собственная} - 3} = \frac{72}{v_{собственная} + 3} - 2 $$

Чтобы решить это уравнение, перенесем все члены с переменной в одну сторону, а число — в другую:

$$ 2 = \frac{72}{v_{собственная} + 3} - \frac{72}{v_{собственная} - 3} $$

Теперь приведем дроби в правой части к общему знаменателю $$ (v_{собственная} + 3)(v_{собственная} - 3) $$. Помним, что $$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $$. В нашем случае это $$ v_{собственная}^2 - 3^2 = v_{собственная}^2 - 9 $$.

$$ 2 = \frac{72(v_{собственная} - 3) - 72(v_{собственная} + 3)}{(v_{собственная} + 3)(v_{собственная} - 3)} $$

$$ 2 = \frac{72v_{собственная} - 216 - 72v_{собственная} - 216}{v_{собственная}^2 - 9} $$

$$ 2 = \frac{-432}{v_{собственная}^2 - 9} $$

Теперь умножим обе части уравнения на $$ (v_{собственная}^2 - 9) $$:

$$ 2(v_{собственная}^2 - 9) = -432 $$

Разделим обе части на 2:

$$ v_{собственная}^2 - 9 = -216 $$

$$ v_{собственная}^2 = -216 + 9 $$

$$ v_{собственная}^2 = -207 $$

СТОП! Кажется, я сделал ошибку в интерпретации. Скорость не может быть отрицательной, и ее квадрат не может быть отрицательным. Давайте еще раз внимательно прочитаем условие.

Перечитываем условие: