Из рисунка и условия известно, что \(\angle\) R = 70^{\(\circ\)}. Условие также гласит, что \(\angle\) STM = 2\(\angle\) S. Нужно найти \(\angle\) S и \(\angle\) STR. Точка T лежит на прямой RM, значит \(\angle\) STR и \(\angle\) STM смежные углы. Их сумма равна \( 180^{\circ} \). \(\angle\) STR + \(\angle\) STM = 180^{\(\circ\)}. \(\angle\) STR + 2\(\angle\) S = 180^{\(\circ\)}. \(\angle\) S - это угол \(\angle\) RST. В треугольнике \(\angle\) R + \(\angle\) S + \(\angle\) STR = 180^{\(\circ\)}. \(\angle\) R + \(\angle\) RST + \(\angle\) STR = 180^{\(\circ\)}. 70^{\(\circ\)} + \(\angle\) S + \(\angle\) STR = 180^{\(\circ\)}. \(\angle\) S + \(\angle\) STR = 110^{\(\circ\)}. Подставляем \(\angle\) STR = 180^{\(\circ\)} - 2\(\angle\) S. \(\angle\) S + 180^{\(\circ\)} - 2\(\angle\) S = 110^{\(\circ\)}. 180^{\(\circ\)} - \(\angle\) S = 110^{\(\circ\)}. \(\angle\) S = 180^{\(\circ\)} - 110^{\(\circ\)} = 70^{\(\circ\)}. \(\angle\) STR = 110^{\(\circ\)} - \(\angle\) S = 110^{\(\circ\)} - 70^{\(\circ\)} = 40^{\(\circ\)}.

Решение:

Дан треугольник \( △ RST \). Известно, что \( ∠ R = 70^{\circ} \).

Из условия задачи имеем:

• \( ∠ STM = 2 ∠ S \)
• \( T \) лежит на прямой \( RM \), значит \( ∠ STR \) и \( ∠ STM \) — смежные углы. Следовательно, \( ∠ STR + ∠ STM = 180^{\circ} \).
• \( ∠ S \) в треугольнике — это \( ∠ RST \).

В треугольнике \( △ RST \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \):

\( ∠ R + ∠ RST + ∠ STR = 180^{\circ} \)

\( 70^{\circ} + ∠ S + ∠ STR = 180^{\circ} \)

\( ∠ S + ∠ STR = 180^{\circ} - 70^{\circ} \)

\( ∠ S + ∠ STR = 110^{\circ} \) (1)

Также из условия \( ∠ STM = 2 ∠ S \). Так как \( ∠ STR + ∠ STM = 180^{\circ} \), подставим вместо \( ∠ STM \) выражение \( 2 ∠ S \):

\( ∠ STR + 2 ∠ S = 180^{\circ} \)

\( ∠ STR = 180^{\circ} - 2 ∠ S \) (2)

Теперь подставим выражение для \( ∠ STR \) из уравнения (2) в уравнение (1):

\( ∠ S + (180^{\circ} - 2 ∠ S) = 110^{\circ} \)

\( 180^{\circ} - ∠ S = 110^{\circ} \)

\( ∠ S = 180^{\circ} - 110^{\circ} \)

\( ∠ S = 70^{\circ} \)

Теперь найдём \( ∠ STR \), используя уравнение (1):

\( 70^{\circ} + ∠ STR = 110^{\circ} \)

\( ∠ STR = 110^{\circ} - 70^{\circ} \)

\( ∠ STR = 40^{\circ} \)

Ответ: ∠ S = 70^{\(\circ\)}, ∠ STR = 40^{\(\circ\)}.