Из точки \( F \) вне окружности проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках \( A \) и \( B \) (\( A \) между \( F \) и \( B \)), вторая – в точках \( C \) и \( D \) (\( C \) между \( F \) и \( D \)). Найдите градусную меру угла \( \angle BAD \), если \( \angle ADC = 20^\circ \), \( \angle BFD = 27^\circ \).

Пошаговое решение:

• Угол \( \angle ADC \) – вписанный, следовательно, дуга \( AC \) равна удвоенному углу \( \angle ADC \): \[\stackrel{\smile}{AC} = 2 \cdot \angle ADC = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ\]
• Угол \( \angle BFD \) образован двумя секущими, выходящими из точки \( F \). Градусная мера угла \( \angle BFD \) равна полуразности градусных мер дуг, заключенных между секущими: \[\angle BFD = \frac{\stackrel{\smile}{BD} - \stackrel{\smile}{AC}}{2}\]
• Выразим дугу \( BD \): \[\stackrel{\smile}{BD} = 2 \cdot \angle BFD + \stackrel{\smile}{AC} = 2 \cdot 27^\circ + 40^\circ = 54^\circ + 40^\circ = 94^\circ\]
• Угол \( \angle BAD \) – вписанный, опирается на дугу \( BD \). Следовательно, градусная мера угла \( \angle BAD \) равна половине градусной меры дуги \( BD \): \[\angle BAD = \frac{\stackrel{\smile}{BD}}{2} = \frac{94^\circ}{2} = 47^\circ\]

Ответ: \( \angle BAD = 47^\circ \)