Из точки № окружности проведены две хорды NM И NC, при этом ∠NCM = 95°. На окружности отмечена точка E так, что ∠NME = 30°. Точки С И E лежат по разные стороны относительно хорды ΜΝ. Касательная K окружности в точке № пересекает прямую МЕ в точке D. Найдите градусную меру угла MDN.

Пошаговое решение:

1. Угол NME является вписанным и опирается на дугу NE. Следовательно, дуга NE равна удвоенному углу NME: \[\stackrel{\smile}{NE} = 2 \cdot \angle NME = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\]
2. Угол NCM также является вписанным и опирается на дугу NM. Следовательно, дуга NM равна удвоенному углу NCM: \[\stackrel{\smile}{NM} = 2 \cdot \angle NCM = 2 \cdot 95^\circ = 190^\circ\]
3. Дуга MEN равна сумме дуг NE и NM: \[\stackrel{\smile}{MEN} = \stackrel{\smile}{NE} + \stackrel{\smile}{NM} = 60^\circ + 190^\circ = 250^\circ\]
4. Угол MDN является углом между касательной DN и хордой MN. Он равен половине дуги MEN, заключенной между ними: \[\angle MDN = \frac{1}{2} \cdot \stackrel{\smile}{MEN} = \frac{1}{2} \cdot 250^\circ = 125^\circ\]

Ответ: 125°