4. Из точки А к окружности с центром О проведены касательные АВ и АС (С и В – точки касания). Найти длины отрезков АВ и АС, если ∠ВАС = 90°, АО = 10 см.

Так как АВ и АС - касательные к окружности, то углы ∠ABO и ∠ACO прямые (90°). Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Значит, ∠BOC = 360° - ∠ABO - ∠ACO - ∠BAC = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°.

Треугольники ABO и ACO равны (AO - общая, OB = OC как радиусы, ∠ABO = ∠ACO = 90°). Значит, AB = AC. Треугольник BOC - равнобедренный прямоугольный треугольник (OB = OC, ∠BOC = 90°). Тогда треугольники ABO и ACO равны и являются прямоугольными.

Рассмотрим треугольник ABO. Он прямоугольный, AO - гипотенуза, AB - катет, OB - катет (радиус). Так как ∠BAC = 90°, то ∠BAO = ∠CAO = 45°. Тогда треугольник ABO - равнобедренный прямоугольный (∠ABO = 90°, ∠BAO = 45°). Значит, AB = OB.

По теореме Пифагора: AO² = AB² + OB². Так как AB = OB, то AO² = 2 * AB².

AB² = AO² / 2 = 10² / 2 = 100 / 2 = 50.

AB = √50 = 5√2.

Так как AB = AC, то AC = 5√2.

Ответ: AB = AC = 5√2 см.