Из точки А к окружности с центром в точке О проведены две касательные, угол между которыми равен α. Найдите длину хорды, соединяющей точки касания, если OA = a.

Решение:

• Обозначим точки касания как B и C. Треугольник OAB и OAC — прямоугольные (радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной).
• Угол AOB = Угол AOC = α/2.
• В прямоугольном треугольнике OAB:
• OB (радиус) = OA * sin(α/2) = a * sin(α/2).
• AB (отрезок касательной) = OA * cos(α/2) = a * cos(α/2).
• Хорда BC является удвоенной высотой в равнобедренном треугольнике ABC, проведенной из вершины A к основанию BC (или удвоенным отрезком, который отсекает высота от точки касания на BC).
• Рассмотрим треугольник OBC. Он равнобедренный (OB=OC=радиус). Угол BOC = 180° - α.
• Длина хорды BC = 2 * OB * sin(Угол BOC / 2) = 2 * (a * sin(α/2)) * sin((180° - α)/2) = 2 * a * sin(α/2) * sin(90° - α/2) = 2 * a * sin(α/2) * cos(α/2).
• Используя формулу синуса двойного угла (sin(2x) = 2sin(x)cos(x)), получаем: BC = a * sin(α).

Ответ: a ⋅ sin(α)