7. Из точки A к плоскости α проведены два отрезка AC и AB. Точка D принадлежит AB, точка E принадлежит AC, DE параллельна α и равна 5 см. Найти длину отрезка BC, если AD/BD = 1/3.

Так как DE || BC (по условию), то треугольники ADE и ABC подобны по двум углам (∠A - общий, ∠ADE = ∠ABC как соответственные углы при параллельных прямых DE и BC и секущей AB).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} $$

Выразим AB через AD и BD:

$$ AB = AD + BD $$

По условию, \(\frac{AD}{BD} = \frac{1}{3}\), следовательно, \(BD = 3AD\). Тогда:

$$ AB = AD + 3AD = 4AD $$

Подставим это в пропорцию:

$$ \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{4AD} $$ $$ \frac{DE}{BC} = \frac{1}{4} $$

Известно, что DE = 5 см, поэтому:

$$ \frac{5}{BC} = \frac{1}{4} $$

Отсюда найдем BC:

$$ BC = 5 \cdot 4 = 20 $$

Ответ: BC = 20 см.