Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные AM₁ и AM₂. Докажите, что: a) если AM₁ = AM₂, то HM₁ = HM₂; б) если AM₁ < AM₂, то HM₁ < HM₂.

a) Доказательство:

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$.

По условию $$AM_1 = AM_2$$, AH – общий катет. Тогда по теореме Пифагора:

$$HM_1 = \sqrt{AM_1^2 - AH^2}$$ $$HM_2 = \sqrt{AM_2^2 - AH^2}$$

Так как $$AM_1 = AM_2$$, то $$AM_1^2 = AM_2^2$$, и, следовательно,

$$\sqrt{AM_1^2 - AH^2} = \sqrt{AM_2^2 - AH^2}$$

То есть, $$HM_1 = HM_2$$.

б) Доказательство:

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$.

По условию $$AM_1 < AM_2$$, AH – общий катет. Тогда по теореме Пифагора:

$$HM_1 = \sqrt{AM_1^2 - AH^2}$$ $$HM_2 = \sqrt{AM_2^2 - AH^2}$$

Так как $$AM_1 < AM_2$$, то $$AM_1^2 < AM_2^2$$, и, следовательно,

$$\sqrt{AM_1^2 - AH^2} < \sqrt{AM_2^2 - AH^2}$$

То есть, $$HM_1 < HM_2$$.