Из точки A, лежащей на окружности, проведены хорды AB = 8 см и AC = 4√3 см. Найдите углы треугольника ABC и радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 2 см.

Обозначим середины хорд AB и AC через M и N. В треугольнике ABC отрезок MN соединяет середины двух сторон, поэтому он является средней линией:

MN = BC / 2, значит BC = 2 · 2 = 4 см.

Найдём угол A по теореме косинусов:

cos A = (AB² + AC² − BC²) / (2 · AB · AC) = (64 + 48 − 16) / (2 · 8 · 4√3) = √3 / 2.

Следовательно, ∠A = 30°.

Для угла B:

cos B = (AB² + BC² − AC²) / (2 · AB · BC) = (64 + 16 − 48) / (2 · 8 · 4) = 1 / 2.

Следовательно, ∠B = 60°, а ∠C = 180° − 30° − 60° = 90°.

Радиус описанной около треугольника ABC окружности равен радиусу исходной окружности. По теореме синусов:

R = BC / (2 sin A) = 4 / (2 · sin 30°) = 4 см.

Ответ: ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°; радиус окружности — 4 см.