Из точки А, лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 32, а расстояние от точки А до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 64. Найдите радиус окружности, если расстояние от центра окружности до секущей равно 7. R=

Пусть $$A$$ - точка вне окружности, $$B$$ - точка касания, $$C$$ - точка пересечения секущей с окружностью, $$O$$ - центр окружности, а $$D$$ - точка на секущей, такая что $$OD \perp AC$$.

По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

$$AB^2 = AC \cdot AE,$$

где $$E$$ - вторая точка пересечения секущей с окружностью.

Обозначим $$AC = 64$$. Тогда $$AE = 2r + AC = 2r$$. Из теоремы о касательной и секущей получим:

$$32^2 = 64 \cdot AE$$

Отсюда $$AE = \frac{32^2}{64} = 16$$

Значит, отрезок секущей, находящийся вне окружности, равен 16. Отрезок секущей, находящийся внутри окружности, равен $$CE = AC - AE = 64 - 16 = 48$$

Обозначим радиус окружности $$r$$. Тогда $$AE = AC-2r$$. Подставим в уравнение $$32^2 = 64(AC - 2r)$$ , получим:

$$AB^2 = AC \cdot (AC - CE) = AC(AC - (AE-AC))$$

Известно, что $$AC \cdot AE = AB^2 = 32^2 = 1024$$, $$AC = 64$$, значит $$AE = \frac{1024}{64} = 16$$. Диаметр $$DE = AC - AE = 64-16 = 48$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ODC$$. По теореме Пифагора $$OC^2 = OD^2 + DC^2$$. Известно, что $$OC = r$$, $$OD = 7$$, а $$DC = \frac{DE}{2} = \frac{48}{2} = 24$$.

Тогда $$r^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$

Значит $$r = \sqrt{625} = 25$$

Ответ: 25