Из точки А, лежащей вне окружности, проведены касательная АВ и секущая АО. О - центр окружности. Известно, что АВ = 12, АО = 13. Найдите радиус окружности.

Рассмотрим рисунок к задаче:

      A
      * \
     *   \
    *     \
   *       \
  *         \
 * * * * * * * B
*           *
O           *
*           *
 * * * * * *

По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки вне окружности, имеем:

$$AB^2 = AO^2 - R^2$$, где R - радиус окружности.

Выразим радиус окружности:

$$R^2 = AO^2 - AB^2$$

$$R = \sqrt{AO^2 - AB^2}$$

Подставим значения:

$$R = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$$

Ответ: 5