Из точки А под углом 40° выходят два луча. На одном выбраны точки В и С (точка В ближе к точке А), на другом выбраны точки D и E (точка D ближе к точке А). Точки выбраны так, что DE = СЕ = ВС. Отрезки ВЕ и CD пересекаются в точке G. Найдите градусную меру ∠CGE.

Обозначим ∠BAC = ∠DAE = 40°. Пусть DE = CE = BC = a. Рассмотрим треугольники BEC и CDE. Они равнобедренные, так как DE = СЕ = ВС = a.

В треугольнике BEC углы при основании равны: ∠EBC = ∠BEC. Тогда ∠EBC = ∠BEC = (180° - ∠BCE) / 2.

В треугольнике CDE углы при основании равны: ∠ECD = ∠EDC. Тогда ∠ECD = ∠EDC = (180° - ∠CED) / 2.

Пусть ∠ABC = α, тогда ∠ACB = 40° - α. Так как треугольник BEC равнобедренный, ∠BEC = (180° - (40° - α)) / 2 = (140° + α) / 2 = 70° + α/2.

∠BCE = 40° - α.

Пусть ∠ADE = β, тогда ∠AED = 40° - β. Так как треугольник CDE равнобедренный, ∠ECD = (180° - (40° - β)) / 2 = (140° + β) / 2 = 70° + β/2.

∠CDE = β.

Сумма углов треугольника ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°, 40° + ∠ABC + ∠ACB = 180°, следовательно ∠ABC + ∠ACB = 140°.

Сумма углов треугольника ADE: ∠DAE + ∠ADE + ∠AED = 180°, 40° + ∠ADE + ∠AED = 180°, следовательно ∠ADE + ∠AED = 140°.

В треугольнике CGE: ∠CGE = 180° - ∠ECG - ∠CEB.

∠CGE = 180° - (70° + β/2) - (70° + α/2) = 180° - 140° - (α + β)/2 = 40° - (α + β)/2.

Рассмотрим четырехугольник ACGE. ∠GAC + ∠ACG + ∠CGE + ∠GEA = 360°.

∠ACG = ∠ACB + ∠BCE, ∠GEA = ∠AED + ∠DEC.

Заметим, что ∠CGE = ∠DGB (вертикальные углы).

В треугольнике BCG: ∠GBC + ∠BCG + ∠CGB = 180°.

∠BCG = ∠BCA + ∠ACG

Рассмотрим треугольник CGE. ∠GCE + ∠GEC + ∠CGE = 180°

Предположим, что α = β = x. Тогда ∠EBC = ∠BEC = 70 + x/2 и ∠ECD = ∠EDC = 70 + x/2. Так как ∠DE = СЕ = ВС, то треугольник BDE - равнобедренный. Тогда углы при основании BD равны. Следовательно ∠EBD = ∠DEB.

∠BEC = ∠CED. Угол ∠CGE - внешний угол треугольника BCG, тогда он равен сумме двух других углов, не смежных с ним. ∠CGE = ∠GBC + ∠BCG.

∠GBC = ∠EBC - ∠EBG = 70 + x/2 - ∠EBG.

∠BCG = 40 - x + 70 + x/2 = 110 - x/2

Тогда ∠CGE = 70 + x/2 - ∠EBG + 110 - x/2 = 180 - ∠EBG

Если рассмотреть треугольник BGE, то ∠EBG + ∠BGE + ∠BEG = 180

∠EBG + ∠BGE + 70 + x/2 = 180, ∠EBG + ∠BGE = 110 - x/2, ∠BGE = 110 - x/2 - ∠EBG

В итоге ∠CGE = 180 - ∠EBG , и ∠BGE = 110 - x/2 - ∠EBG

Получается, что ∠CGE + ∠BGE = 180. Тогда ∠CGE и ∠BGE - смежные углы.

Ответ: 110

Ответ: 110