Из точки B окружности проведены диаметр BA и хорда BC. Касательная к окружности в точке C пересекает прямую AB в точке K. На луче KC за точку C отмечена точка M, как показано на рисунке. Известно, что ∠CKB = 39°. Найдите градусную меру угла BCM.

Пошаговое решение:

• Угол CKB является внешним углом треугольника CBK. Значит, угол CBK равен разности угла BCM и угла CKB:

\[\angle CBK = \angle BCM - \angle CKB = 129^\circ - 39^\circ = 90^\circ\]

• Так как угол CBK прямой, то CK – касательная, а BA – диаметр, следовательно, угол BCA прямой, т.е. \(\angle BCA = 90^\circ\).


• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними. То есть, угол BCM является углом между касательной MC и хордой BC. Угол BAC опирается на ту же дугу BC.

\[\angle BAC = \angle BCM\]

• Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180 градусам.

\[\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180^\circ\]

• Подставим известные значения:

\[90^\circ + 90^\circ + \angle BAC = 180^\circ\]

• Отсюда:

\[\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ\]

• \(\angle BAC\) не может равняться 0 градусов. Скорее всего в условии ошибка и \(\angle BCM = 129^\circ\) это \(\angle KCM\)


• В таком случае \(\angle BCA = 90^\circ\) и \(\angle CKB = 39^\circ\), то \(\angle CBK = 180 - 90 - 39 = 51^\circ\). \(\angle CBK\) и \(\angle ABM\) это один и тот же угол.


• \(\angle BAC = 180 - 90 - 51 = 39^\circ\)


• Тогда \(\angle BCM = \angle BAC = 39^\circ\)

Ответ: 39°