Из точки D к плоскости а провели наклонные DK и DB, образующие с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите проекцию наклонной DK на плоскость а, если DB = 10

Решение:

• Дано:
• Плоскость α
• Наклонные DK и DB
• ∠DK, α = 45°
• ∠DB, α = 60°
• DB = 10
• Найти: проекцию DK на плоскость α (обозначим ее как DK′)

Объяснение:

• Проекция наклонной на плоскость — это отрезок, соединяющий основание наклонной с ее проекцией.
• Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные наклонными, их проекциями и перпендикуляром из точки D к плоскости α.
• В прямоугольном треугольнике, образованном наклонной DB, ее проекцией (DB′) и перпендикуляром (h), синус угла между наклонной и плоскостью равен отношению противолежащего катета (h) к гипотенузе (DB).
• \[ \sin(∠DB, α) = \frac{h}{DB} \]
• \[ \sin(60°) = \frac{h}{10} \]
• \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{10} \]
• \[ h = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \]
• Аналогично для наклонной DK:
• \[ \sin(∠DK, α) = \frac{h}{DK} \]
• \[ \sin(45°) = \frac{5\sqrt{3}}{DK} \]
• \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{DK} \]
• \[ DK = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{6} \]
• Теперь найдем проекцию DK′. В прямоугольном треугольнике, образованном наклонной DK, ее проекцией (DK′) и перпендикуляром (h):
• \[ DK^2 = (DK′)^2 + h^2 \]
• \[ (5\sqrt{6})^2 = (DK′)^2 + (5\sqrt{3})^2 \]
• \[ 25 \cdot 6 = (DK′)^2 + 25 \cdot 3 \]
• \[ 150 = (DK′)^2 + 75 \]
• \[ (DK′)^2 = 150 - 75 \]
• \[ (DK′)^2 = 75 \]
• \[ DK′ = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \]

Ответ: 5√3