Из точки Е проведены перпендикуляры ЕК, EL и ЕМ к сторонам треугольника АВС. Они оказались равными друг другу. Периметр треугольника равен 82, а сторона АС разделена на два отрезка с известными длинами: AK = 10, CK = 23. Найдите длины сторон треугольника.

Поскольку перпендикуляры из точки Е к сторонам треугольника равны, точка Е является центром вписанной окружности. Следовательно, AK = AL = 10, CL = CM = 23, BM = BK. Сторона AC = AK + CK = 10 + 23 = 33. Периметр треугольника AB + BC + AC = 82. AB + BC + 33 = 82. AB + BC = 49. AB = AL + LB = 10 + LB. BC = BM + MC = BM + 23. Так как BM = BK, то AB = 10 + BK, BC = BK + 23. Подставляем в уравнение периметра: (10 + BK) + (BK + 23) = 49. 2*BK + 33 = 49. 2*BK = 16. BK = 8. Следовательно, AB = 10 + 8 = 18. BC = 8 + 23 = 31. Проверка: AB + BC + AC = 18 + 31 + 33 = 82.

AB = 18

BC = 31

AC = 33