Из точки G к окружности с центром О провели касательные GN и GR, N и R — точки касания, ∠ONR = 27°. Найдите ∠NGR.

Решение:

В треугольнике \( ONR \) отрезки \( ON \) и \( OR \) являются радиусами окружности. Следовательно, \( ON = OR \). Это означает, что треугольник \( ONR \) — равнобедренный.

Так как \( ON \) и \( GR \) — касательные к окружности, то радиусы \( ON \) и \( OR \) перпендикулярны касательным в точках касания. Следовательно, \( \angle ONG = 90^{\circ} \) и \( \angle ORG = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( ONR \). Так как он равнобедренный, то углы при основании равны: \( \angle ORN = \angle ONR = 27^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Найдем угол \( \angle NOR \):

\[ \angle NOR = 180^{\circ} - (\angle ONR + \angle ORN) = 180^{\circ} - (27^{\circ} + 27^{\circ}) = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \]

Теперь рассмотрим четырёхугольник \( ONGR \). Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360^{\circ} \). Мы знаем три угла:

• \( \angle ONG = 90^{\circ} \)
• \( \angle ORG = 90^{\circ} \)
• \( \angle NOR = 126^{\circ} \)

Найдем угол \( \angle NGR \):

\[ \angle NGR = 360^{\circ} - (\angle ONG + \angle ORG + \angle NOR) \]

\[ \angle NGR = 360^{\circ} - (90^{\circ} + 90^{\circ} + 126^{\circ}) \]

\[ \angle NGR = 360^{\circ} - 306^{\circ} = 54^{\circ} \]

Ответ: 54