Из точки К биссектрисы острого угла проведены перпендикуляры КР и KF к сторонам угла. Докажите, что КР = KF.

Доказательство:

Пусть дан угол $$BAC$$, и $$AK$$ – биссектриса этого угла. Проведем перпендикуляры $$KP$$ и $$KF$$ к сторонам угла, где $$P$$ лежит на $$AB$$, а $$F$$ лежит на $$AC$$. Нужно доказать, что $$KP = KF$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle APK$$ и $$ \triangle AFK$$.

У них:

• $$AK$$ – общая сторона.
• $$\angle PAK = \angle FAK$$, так как $$AK$$ – биссектриса угла $$BAC$$.
• $$\angle AP K = \angle AFK = 90^\circ$$, так как $$KP$$ и $$KF$$ – перпендикуляры.

Следовательно, $$ \triangle APK = \triangle AFK$$ по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует, что $$KP = KF$$.

Что и требовалось доказать.