Из точки К к окружности с центром О провели касательные КР и КМ, Р и М — точки касания, ∠OMP = 36°. Найдите ∠РКМ.

Дано:

Окружность с центром О.

КР и КМ — касательные.

Р и М — точки касания.

\( \angle OMP = 36^{\circ} \).

Найти:

\( \angle PКМ \).

Решение:

1. Так как КР и КМ — касательные к окружности, то радиусы ОР и ОМ, проведенные в точки касания, перпендикулярны этим касательным. Следовательно, \( \angle OPR = 90^{\circ} \) и \( \angle OMK = 90^{\circ} \).

2. Рассмотрим треугольник \( \triangle OMP \). Так как ОР и ОМ — радиусы окружности, то \( OP = OM \). Следовательно, \( \triangle OMP \) — равнобедренный.

3. В равнобедренном треугольнике \( \triangle OMP \) углы при основании равны. Поэтому \( \angle OPM = \angle OMP = 36^{\circ} \).

4. Найдем угол \( \angle POM \) в \( \triangle OMP \): \( \angle POM = 180^{\circ} - (\angle OPM + \angle OMP) = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \).

5. Теперь рассмотрим четырехугольник \( KPMO \). Сумма углов в четырехугольнике равна \( 360^{\circ} \). Мы знаем три угла: \( \angle OPR = 90^{\circ} \), \( \angle OMK = 90^{\circ} \), \( \angle POM = 108^{\circ} \).

6. Угол \( \angle PKM \) равен: \( \angle PKM = 360^{\circ} - (\angle OPR + \angle OMK + \angle POM) = 360^{\circ} - (90^{\circ} + 90^{\circ} + 108^{\circ}) = 360^{\circ} - 288^{\circ} = 72^{\circ} \).

7. Альтернативный способ: Так как КР и КМ — касательные, проведенные из одной точки, то \( KP = KM \). Также ОК является биссектрисой \( \angle PKM \) и \( \angle POM \). В прямоугольном треугольнике \( \triangle OMP \), \( \angle MOP = 90^{\circ} - \angle OMP = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ} \). Следовательно, \( \angle KOM = 2 \cdot \angle MOP = 2 \cdot 54^{\circ} = 108^{\circ} \). В четырехугольнике \( KPMO \) сумма углов равна \( 360^{\circ} \). \( \angle PKM = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).

8. Или, учитывая, что \( \triangle KPO \) и \( \triangle KMO \) равны (по гипотенузе и катету), \( \angle PKM = 2 \cdot \angle PKО \). В прямоугольном \( \triangle KPO \), \( \angle KPO = 90^{\circ} \), \( \angle POK = 54^{\circ} \). \( \angle PKO = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ} \). Тогда \( \angle PKM = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ} \).

Ответ: \( \angle PКМ = 72^{\circ} \).