Из точки к плоскости проведены две наклонные 4 и 8. Найдите расстояние от точки до плоскости, если их проекции относятся, как 1:7.

Пусть $$h$$ - расстояние от точки до плоскости, $$a_1$$ и $$a_2$$ - длины наклонных, $$p_1$$ и $$p_2$$ - длины их проекций.

По теореме Пифагора: $$a_1^2 = h^2 + p_1^2$$ и $$a_2^2 = h^2 + p_2^2$$.

Дано: $$a_1 = 4$$, $$a_2 = 8$$, $$p_1/p_2 = 1/7$$. Пусть $$p_1 = x$$, тогда $$p_2 = 7x$$.

$$4^2 = h^2 + x^2 ightarrow 16 = h^2 + x^2$$.

$$8^2 = h^2 + (7x)^2 ightarrow 64 = h^2 + 49x^2$$.

Вычитаем первое уравнение из второго: $$64 - 16 = (h^2 + 49x^2) - (h^2 + x^2) ightarrow 48 = 48x^2 ightarrow x^2 = 1$$.

Подставляем $$x^2 = 1$$ в первое уравнение: $$16 = h^2 + 1 ightarrow h^2 = 15 ightarrow h = \sqrt{15}$$.