Из точки М к окружности проведены касательные MN и МК. Известно, что точками М и К окружность делится на две дуги, градусные меры которых относятся как 5 : 3. Найди ∠NMK.

Решение:

Угол между касательными, проведенными из одной точки к окружности, равен половине разности градусных мер дуг, на которые опирается этот угол (большей и меньшей).

• Пусть градусная мера большей дуги равна 5x, а меньшей — 3x.
• Сумма градусных мер дуг составляет 360°, так как они составляют полную окружность: 5x + 3x = 360°.
• Сложим известные части: 8x = 360°.
• Найдем значение x: x = 360° / 8 = 45°.
• Большая дуга: 5 * 45° = 225°.
• Меньшая дуга: 3 * 45° = 135°.
• Угол ∠NMK равен полуразности больших и меньших дуг: ∠NMK = (225° - 135°) / 2 = 90° / 2 = 45°.

Ответ: 45°