18. Из точки M к окружности с центром O проведены касательные M A и MB. Найди расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и MA = 18.

Рассмотрим рисунок:

      M
      |\
      | \ 18
      |  \
    18|   \ A
      |    \
      |     \ 
      |      \
      O-------B

$$\angle AOB = 120^\circ$$, $$MA = 18$$

1) Рассмотрим четырехугольник $$MAOB$$.

Сумма углов четырехугольника равна $$360^\circ$$, $$OA \perp MA$$ и $$OB \perp MB$$ (радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной).

Тогда $$\angle AOB + \angle OAM + \angle OBM + \angle AMB = 360^\circ$$,

$$120^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle AMB = 360^\circ$$,

$$ \angle AMB = 360^\circ - 120^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 60^\circ$$

2) Рассмотрим $$\triangle AMO$$ и $$\triangle BMO$$.

$$AM = BM$$ (как касательные, проведенные из одной точки), $$AO = BO$$ (как радиусы), $$MO$$ - общая сторона, следовательно $$\triangle AMO = \triangle BMO$$ по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство углов, то есть $$ \angle AMO = \angle OMB = 30^\circ$$.

3) Рассмотрим $$\triangle AMO$$ ($$ \angle A = 90^\circ$$).

$$\tg \angle AMO = \frac{AO}{AM}$$,

$$\tg 30^\circ = \frac{AO}{18}$$,

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AO}{18}$$,

$$AO = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18 \sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$

4) Найдем $$AB$$ из $$\triangle ABO$$.

$$\triangle ABO$$ - равнобедренный ($$AO = BO$$). Проведем высоту $$OH$$. $$OH$$ является и медианой, и биссектрисой. Следовательно, $$AH = HB$$ и $$ \angle AOH = \frac{1}{2} \angle AOB = 60^\circ$$.

$$\triangle AOH$$ - прямоугольный, тогда

$$\sin \angle AOH = \frac{AH}{AO}$$,

$$\sin 60^\circ = \frac{AH}{6\sqrt{3}}$$,

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AH}{6\sqrt{3}}$$,

$$AH = \frac{6 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$$

Тогда $$AB = 2AH = 2 \cdot 9 = 18$$

Ответ: 18