18. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные М А и МВ. Найди расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МА = 18.

Рассмотрим четырехугольник MAOB. У него ∠MAO = ∠MBO = 90°, так как MA и MB - касательные к окружности. По условию ∠AOB = 120°. Сумма углов четырехугольника равна 360°, поэтому ∠AMB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°.

Рассмотрим треугольник АМВ. Он равнобедренный, так как MA = MB (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны). Значит, углы при основании AM и MB равны. Так как ∠AMB = 60°, то ∠MAB = ∠MBA = (180° - 60°) / 2 = 60°. Следовательно, треугольник АМВ равносторонний, и АВ = МА = 18.

Ответ:

AB = 18

ИЛИ

Рассмотрим треугольник АМО. Он прямоугольный, так как ∠MAO = 90°. ∠AOM = ∠AOB/2 = 120°/2 = 60°. Тогда АО = МА * tg(∠АМО) = 18*tg(30) = $$18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$.

Рассмотрим треугольник АОВ. Он равнобедренный, так как АО = ОВ (радиусы окружности). ∠AOB = 120°. Тогда ∠OAB = ∠OBA = (180° - 120°) / 2 = 30°. Проведем высоту ОК к стороне АВ. Она также является медианой и биссектрисой. Следовательно, ∠AOK = ∠AOB / 2 = 120° / 2 = 60°, AK = AB / 2.

Рассмотрим треугольник АОК. Он прямоугольный, так как ОК - высота. sin(∠AOK) = AK / AO, следовательно, AK = AO * sin(∠AOK) = $$6\sqrt{3} \cdot sin(60°) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9$$.

Тогда АВ = 2 * АК = 2 * 9 = 18.

Ответ: 18