Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МО = 4.

Решение:

• Рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \).
• \( OA = OB \) как радиусы окружности, значит, \( \triangle AOB \) – равнобедренный.
• \( \angle AOB = 120^\circ \) (по условию).
• Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), поэтому \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ \).
• \( MA \) и \( MB \) – касательные к окружности, следовательно, \( \angle OAM = \angle OBM = 90^\circ \).
• Рассмотрим \( \triangle OAM \): \( \angle OAM = 90^\circ \), \( MO = 4 \) (по условию).
• \( \angle AMO = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
• \( OA = MO \cdot \sin(\angle AMO) = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \).
• Теперь, зная \( OA \), применим теорему синусов к \( \triangle AOB \): \[ \frac{AB}{\sin(\angle AOB)} = \frac{OA}{\sin(\angle OBA)} \] \[ AB = \frac{OA \cdot \sin(\angle AOB)}{\sin(\angle OBA)} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin(120^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6 \]

Ответ: 6