17. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если \(\angle AOB = 120^\circ\) и МО = 6.

Пусть $$O$$ - центр окружности, $$MA$$ и $$MB$$ - касательные к окружности, проведённые из точки $$M$$. $$A$$ и $$B$$ - точки касания. $$\angle AOB = 120^{\circ}$$, $$MO = 6$$. Так как $$MA$$ и $$MB$$ - касательные, то $$\angle OAM = \angle OBM = 90^{\circ}$$. Рассмотрим четырёхугольник $$AOBM$$. Сумма углов в четырёхугольнике равна $$360^{\circ}$$, поэтому $$\angle AMB = 360^{\circ} - \angle OAM - \angle OBM - \angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$. $$\triangle OAM$$ - прямоугольный, и $$\sin \angle AMO = \frac{AO}{MO}$$. $$\angle AMO = \frac{1}{2} \angle AMB = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$$. $$\sin 30^{\circ} = \frac{AO}{MO} = \frac{AO}{6}$$. Так как $$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$$, то $$\frac{1}{2} = \frac{AO}{6}$$, следовательно, $$AO = 3$$. Рассмотрим $$\triangle AOB$$. Он равнобедренный, так как $$AO = OB = 3$$. $$\angle AOB = 120^{\circ}$$. Проведём высоту $$OC$$ к основанию $$AB$$. Тогда $$\triangle AOC$$ - прямоугольный, и $$\angle AOC = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}$$. $$\sin \angle AOC = \frac{AC}{AO}$$. $$\sin 60^{\circ} = \frac{AC}{3}$$. Так как $$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, то $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{3}$$, следовательно, $$AC = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$. $$AB = 2AC = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$. Таким образом, расстояние между точками касания $$A$$ и $$B$$ равно $$3\sqrt{3}$$. **Ответ: $$3\sqrt{3}$$**