Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ (В и А – точки касания). Найдите АМ и ВМ, если <АМВ = 90°, OM = 10 см.

1. Шаг 1: Определим, что MA и MB - касательные к окружности с центром O. Значит, углы OAM и OBM прямые (90°), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

2. Шаг 2: Рассмотрим четырехугольник OAMB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Из условия

3. Шаг 3: Рассмотрим треугольники OAM и OBM. Они прямоугольные и равны (по катету - радиусу OA = OB, и общей гипотенузе OM). Значит, AM = BM.

4. Шаг 4: Рассмотрим прямоугольный треугольник OAM. Применим теорему Пифагора: OM² = OA² + AM². Мы знаем OM = 10 см. Пусть AM = x. Тогда OA также равен x, так как треугольник OAM равнобедренный (углы OAM и OMA равны 45°). Таким образом, 10² = x² + x² = 2x² Отсюда x² = 100 / 2 = 50 И x = √50 = 5√2 см.

5. Шаг 5: Так как AM = BM, то BM = 5√2 см.

Ответ: AM = BM = 5√2 см