Из точки M к окружности с центром в точке O провели касательные, K и N – точки касания. Известно, что \(\angle OKN = 25^\circ\). Выберите верные утверждения.

Давайте разберемся с данной задачей. 1. Рассмотрим треугольник OKN. Так как OK и ON – радиусы одной и той же окружности, то OK = ON. Следовательно, треугольник OKN – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \(\angle OKN = \angle ONK = 25^\circ\). 2. Найдем угол KON. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, \(\angle KON = 180^\circ - \angle OKN - \angle ONK = 180^\circ - 25^\circ - 25^\circ = 130^\circ\). 3. Рассмотрим четырехугольник OKMN. Так как MK и NK – касательные к окружности, то углы OKM и ONM – прямые, то есть \(\angle OKM = \angle ONM = 90^\circ\). Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, следовательно, \(\angle KMN = 360^\circ - \angle OKM - \angle ONM - \angle KON = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 130^\circ = 50^\circ\). 4. Рассмотрим треугольник KMN. Так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, то MK = NK. Следовательно, треугольник KMN – равнобедренный, и углы при основании равны, то есть \(\angle MKN = \angle MNK\). Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, \(\angle MKN = \angle MNK = (180^\circ - \angle KMN) / 2 = (180^\circ - 50^\circ) / 2 = 130^\circ / 2 = 65^\circ\). Теперь проверим предложенные утверждения: * \(\angle KNM = \angle NKM\) (65° = 65°) – Верно * \(\angle KMN = \angle NOK\) (50° = 130°) – Неверно * \(\angle NKO = \angle KNO\) (90° = 90°) – Неверно (Тут сравниваются углы NKM и OKN, а не углы касательных, поэтому не подходит) * \(\angle KNM = \angle NMK\) (65° = 65°) – Верно Таким образом, верные утверждения: \(\angle KNM = \angle NKM\) Ответ: \(\angle NMK = 65^\circ\)