Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Дано, что \( OKN = 25^{\circ} \) и \( OK \perp MK \), \( ON \perp MN \) как радиусы, проведённые в точки касания.
Рассмотрим треугольник \( \triangle OKM \). \( OK = OM \) (радиусы). \( \angle OKM = 90^{\circ} \). \( \angle OMK = \angle OMN \) (по свойству касательных, проведённых из одной точки).
В \( \triangle OKN \): \( OK = ON \) (радиусы), \( \angle OKN = \angle ONK = 25^{\circ} \).
Выберите верные утверждения:
- \( ∠ KNM = ∠ NKM \) — Неверно.
- \( ∠ KMN = ∠ NOK \) — Неверно.
- \( ∠ NKO = ∠ KNO \) — Верно, так как \( ∠ NKO = 25^{\circ} \) и \( ∠ KNO = 25^{\circ} \).
- \( ∠ KNM = ∠ NMK \) — Неверно.
Найдите \( ∠ NMK.
В \( ∠ OKN \): \( ∠ KON = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ} \).
Так как \( MK \) и \( MN \) — касательные, проведённые из точки \( M \) к окружности, то \( ∠ KMO = ∠ NMO \). Также \( OK = ON \) и \( MK = MN \). Значит, \( ∠ KMN = ∠ OMN \).
Рассмотрим четырёхугольник \( OKMN \). Сумма углов равна \( 360^{\circ} \).
\( ∠ KMN + ∠ OKM + ∠ KON + ∠ ONM = 360^{\circ} \)
\( ∠ KMN + 90^{\circ} + 65^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)
\( ∠ KMN + 245^{\circ} = 360^{\circ} \)
\( ∠ KMN = 360^{\circ} - 245^{\circ} = 115^{\circ} \).
Треугольники \( ∠ MOK \) и \( ∠ MON \) равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, \( ∠ KMO = ∠ NMO = ∠ KMN / 2 \).
\( ∠ KMO = 115^{\circ} / 2 = 57.5^{\circ} \).
В \( ∠ OKM \) (прямоугольный):
\( ∠ OMK + ∠ MKO + ∠ KOM = 180^{\circ} \)
\( 57.5^{\circ} + 90^{\circ} + ∠ KOM = 180^{\circ} \)
\( ∠ KOM = 180^{\circ} - 147.5^{\circ} = 32.5^{\circ} \).
\( ∠ OKN = 25^{\circ} \) дано.
\( ∠ KNM \) — это угол между касательной \( MK \) и хордой \( KN \). Его величина равна половине величины дуги, которую он стягивает.
В \( ∠ OKN \): \( ∠ KON = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 25^{\circ} = 130^{\circ} \).
Угол \( ∠ KNM \) не равен \( ∠ OKN \).
Рассмотрим \( ∠ KMN \). Он равен \( 115^{\circ} \).
\( ∠ NMK \) — это тот же угол \( ∠ KMN \). Таким образом, \( ∠ NMK = 115^{\circ} \).
Верное утверждение: \( ∠ NKO = ∠ KNO \).
Найдите \( ∠ NMK \). \( ∠ NMK = 115^{\circ} \).
Ответ: Верное утверждение: \( ∠ NKO = ∠ KNO \). Найдите \( ∠ NMK \): \( 115^{\circ} \).
