14. Из точки М к плоскости а проведены перпендикуляр М№ и на- клонные МК и МС, которые образуют с плоскостью основания углы, рав- ные 45°. Проекции наклонных на эту плоскость образуют между собой угол 60°. Найдите угол между этими наклонными.

Давай решим эту задачу по геометрии. Пусть MN - перпендикуляр к плоскости α, MK и MC - наклонные, образующие с плоскостью углы 45°. Проекции наклонных NK и NC образуют угол 60°. Нужно найти угол между наклонными MKC. 1) Рассмотрим треугольник MNK. Так как угол между MK и плоскостью α равен 45°, то ∠MKN = 45°. Поскольку MN - перпендикуляр, то ∠MNK = 90°. Следовательно, треугольник MNK - прямоугольный и равнобедренный (так как углы при основании равны). Тогда MN = NK. 2) Аналогично, для треугольника MNC: ∠MCN = 45°, ∠MNC = 90°, следовательно, MN = NC. 3) Из пунктов 1 и 2 следует, что NK = NC. 4) Рассмотрим треугольник NKC. Из условия, ∠KNC = 60°. Так как NK = NC, то треугольник NKC - равнобедренный с углом 60°, то есть он равносторонний. Следовательно, NK = NC = KC. 5) Теперь рассмотрим треугольник MKC. Мы знаем, что MN ⊥ α, поэтому MN ⊥ NK и MN ⊥ NC. Так как MN = NK = NC = KC, положим MN = NK = NC = KC = a. Тогда, по теореме Пифагора для треугольника MNK: MK = √(MN² + NK²) = √(a² + a²) = a√2. Аналогично, MC = a√2. 6) Теперь у нас есть треугольник MKC, в котором MK = MC = a√2 и KC = a. Мы можем найти угол ∠MKC, используя теорему косинусов: KC² = MK² + MC² - 2 * MK * MC * cos(∠MKC) a² = (a√2)² + (a√2)² - 2 * a√2 * a√2 * cos(∠MKC) a² = 2a² + 2a² - 4a² * cos(∠MKC) a² = 4a² - 4a² * cos(∠MKC) -3a² = -4a² * cos(∠MKC) cos(∠MKC) = 3/4 ∠MKC = arccos(3/4) Ответ: arccos(3/4)

Ответ: arccos(3/4)