Из точки M к плоскости α проведены две наклонные, длины которых равны 18 см и 2√109 см. Их проекции на эту плоскость относятся как 3 : 4. Найдите расстояние от точки M до плоскости α.

Обозначим расстояние от M до плоскости α через h. Более длинной наклонной соответствует большая проекция, поэтому проекции равны 3x и 4x.

1. Для наклонной длиной 18 см по теореме Пифагора: h² + (3x)² = 18².

2. Для наклонной длиной 2√109 см: h² + (4x)² = (2√109)² = 436.

3. Вычтем первое равенство из второго: 7x² = 436 − 324 = 112, поэтому x² = 16.

4. Тогда h² = 18² − (3 · 4)² = 324 − 144 = 180, откуда h = √180 = 6√5 см.

Ответ: 6√5 см.