Из точки М проведены перпендикуляры МЕ и MD к сторонам угла АВС. Найдите ∠DMB, если ∠EMB = 46° и BD = BE.

Рассмотрим решение задачи.

Так как ME и MD - перпендикуляры к сторонам угла ABC, то углы BEM и BDM прямые, то есть ∠BEM = 90° и ∠BDM = 90°.

Рассмотрим треугольники BEM и BDM.

• BE = BD (по условию);
• ВМ - общая сторона.

Следовательно, треугольники BEM и BDM равны по катету и гипотенузе (признак равенства прямоугольных треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠EBM = ∠DBM.

Рассмотрим треугольник BEM. Сумма углов треугольника равна 180°.

∠BEM + ∠EMB + ∠EBM = 180°.

Выразим ∠EBM:

∠EBM = 180° - ∠BEM - ∠EMB = 180° - 90° - 46° = 44°.

Так как ∠EBM = ∠DBM, то ∠DBM = 44°.

∠DMB = ∠EMB + ∠EBM + ∠DBM = 46° + 44° + 44° = 134°.

Ответ: ∠DMB = 134°.