Из точки окружности провели две хорды длины 2 см, угол между которыми равен 120°. Найдите диаметр окружности.

Пошаговое решение:

• Пусть из точки A окружности проведены две хорды AB и AC, каждая длиной 2 см, и угол между ними \( \angle BAC = 120^{\circ} \).
• Соединим точки B и C. Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = AC = 2 см. Угол при вершине A равен 120°, значит, углы при основании BC равны: \( \angle ABC = \angle ACB = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
• По теореме синусов, в треугольнике ABC имеем: \( \frac{BC}{\sin A} = 2R \), где R — радиус окружности.
• Найдем сторону BC по теореме косинусов: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos 120^{\circ} = 4 + 4 - 8 \cdot (-0.5) = 8 + 4 = 12 \), следовательно, \( BC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
• Подставим значения в теорему синусов: \( \frac{2\sqrt{3}}{\sin 120^{\circ}} = 2R \). \( \sin 120^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Тогда: \( \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \). \( 2R = 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 \).
• Диаметр окружности равен 4 см.

Ответ: 4 см