Из точки окружности радиуса 1 провели две хорды, длины которых равны 1 и √2. Найдите угол между этими хордами, если он острый.

Пошаговое решение:

• Обозначим центр окружности как O, а точку, из которой проведены хорды, как A. Пусть B и C — концы хорд AB и AC соответственно, где AB = 1 и AC = √2.
• Рассмотрим треугольник OAB. Так как OA = OB = 1 (радиусы окружности) и AB = 1, то треугольник OAB — равносторонний. Следовательно, угол AOB = 60°.
• Рассмотрим треугольник OAC. Здесь OA = OC = 1 и AC = √2. Используем теорему косинусов для нахождения угла AOC: AC² = OA² + OC² - 2 * OA * OC * cos(AOC). Подставляем значения: (√2)² = 1² + 1² - 2 * 1 * 1 * cos(AOC). Получаем 2 = 2 - 2 * cos(AOC), откуда cos(AOC) = 0. Следовательно, угол AOC = 90°.
• Теперь найдем угол между хордами BAC. Существует два варианта расположения хорд:
  • Хорды расположены по одну сторону от центра O. В этом случае угол BAC = |AOC - AOB| / 2 = |90° - 60°| = 30°.
  • Хорды расположены по разные стороны от центра O. В этом случае угол BAC = (AOC + AOB) / 2 = (90° + 60°) = 150°. Но так как по условию нужен острый угол, то этот вариант не подходит.

Ответ: 30°