Из точки окружности радиуса 1 провели две хорды, длины которых равны 1 и √2. Найдите угол между этими хордами, если он острый.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем центральные углы, опирающиеся на хорды. Пусть радиус окружности R = 1. Длина хорды (c) связана с радиусом и центральным углом (α) формулой: \( c = 2R · · · · \alpha / 2 \). Следовательно, \( \sin(\alpha / 2) = c / (2R) \).
   Для первой хорды (c1 = 1): \( \sin(\alpha_1 / 2) = 1 / (2 · 1) = 1/2 \). Отсюда \( \alpha_1 / 2 = 30^{\circ} \), а \( \alpha_1 = 60^{\circ} \).
   Для второй хорды (c2 = \(\sqrt{2}\)): \( \sin(\alpha_2 / 2) = \sqrt{2} / (2 · 1) = \sqrt{2}/2 \). Отсюда \( \alpha_2 / 2 = 45^{\circ} \), а \( \alpha_2 = 90^{\circ} \).
2. Шаг 2: Находим угол между хордами. Этот угол равен полуразности или полусумме центральных углов, в зависимости от их расположения. Однако, более прямой метод — использовать теорему косинусов для треугольника, образованного хордами и отрезком, соединяющим их концы. Пусть угол между хордами равен \(\beta\). Длины хорд равны 1 и \(\sqrt{2}\). Найдем длину отрезка, соединяющего концы хорд (d), используя теорему косинусов для треугольника с вершиной в центре окружности и сторонами, равными радиусам, и хордой как основанием. Угол между радиусами, исходящими из точки на окружности к концам хорд, может быть равен \(\alpha_1\) или \(360^{\circ} - \alpha_1\) (аналогично для \(\alpha_2\)).
   Рассмотрим треугольник, образованный двумя хордами (1 и \(\sqrt{2}\)) и третьей стороной (d), соединяющей их концы. По теореме косинусов: \( d^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 · 1 · \sqrt{2} · \cos(\gamma) \), где \(\gamma\) — угол между хордами в точке их пересечения.
3. Шаг 3: Упростим задачу. Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Для хорды длиной 1, угол между радиусами в центре окружности равен 60 градусов. Для хорды длиной \(\sqrt{2}\), угол между радиусами в центре равен 90 градусов. Угол между хордами в точке на окружности будет равен полуразности или полусумме этих центральных углов.
4. Шаг 4: Более простой подход: угол между хордами равен половине разности центральных углов, опирающихся на эти хорды, или половине их суммы. Здесь \( β = |\alpha_2 - \alpha_1| / 2 \) или \( β = (\alpha_1 + \alpha_2) / 2 \).
5. Шаг 5: Вычисляем угол. \( β = |90^{\circ} - 60^{\circ}| / 2 = 30^{\circ} / 2 = 15^{\circ} \) или \( β = (60^{\circ} + 90^{\circ}) / 2 = 150^{\circ} / 2 = 75^{\circ} \). Поскольку требуется острый угол, ищем меньшее значение.

Ответ: 75°