Из точки P, лежащей вне окружности, провели две секущие. Одна секущая пересекает окружность в точках А и В, другая в точках С и Д. Найдите РА, если АВ = 7, DC = PD = 8, PB < PA.

Шаг 1: Вспомним теорему о произведениях отрезков секущих: Если из точки вне окружности проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. \[PA \cdot PB = PC \cdot PD\]

Шаг 2: Выразим \(PC\). Так как \(DC = 8\) и \(PD = 8\), то \[PC = PD + DC = 8 + 8 = 16\]

Шаг 3: Пусть \(PA = x\). Так как \(AB = 7\), то \(PB = PA - AB = x - 7\).

Шаг 4: Подставим известные значения в теорему о произведениях отрезков секущих: \[x \cdot (x - 7) = 16 \cdot 8\] \[x^2 - 7x = 128\] \[x^2 - 7x - 128 = 0\]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-128) = 49 + 512 = 561\]

Шаг 6: Найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{7 + \sqrt{561}}{2}\] \[x_2 = \frac{7 - \sqrt{561}}{2}\]

Шаг 7: Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, а также из условия \(PB < PA\), то выбираем положительное решение: \[x = PA = \frac{7 + \sqrt{561}}{2} \approx 15.9\].