Из точки P вне окружности проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках А и В (А между Р и В), вторая - в точках Си Д (С между Р и D). Хорды окружности AD и ВС пересекаются в точке Е. Найдите градусную меру угла BED, если ∠BPD = 42° и ~АС:~BD = 4:11.

Пошаговое решение:

• Пусть \( \angle BPD = 42^{\circ} \), \( \stackrel{\LARGE{\frown}}{AC} : \stackrel{\LARGE{\frown}}{BD} = 4:11 \).

• Обозначим \( \stackrel{\LARGE{\frown}}{AC} = 4x \), \( \stackrel{\LARGE{\frown}}{BD} = 11x \).

• Угол \( \angle BPD \) является углом, образованным двумя секущими, следовательно, его градусная мера равна полуразности градусных мер дуг, заключенных между секущими: \[\angle BPD = \frac{1}{2} (\stackrel{\LARGE{\frown}}{BD} - \stackrel{\LARGE{\frown}}{AC})\]

• Подставим известные значения: \[42 = \frac{1}{2} (11x - 4x)\] \[42 = \frac{1}{2} (7x)\] \[84 = 7x\] \[x = 12\]

• Тогда \( \stackrel{\LARGE{\frown}}{AC} = 4 \cdot 12 = 48^{\circ} \), \( \stackrel{\LARGE{\frown}}{BD} = 11 \cdot 12 = 132^{\circ} \).

• Угол \( \angle BED \) является внешним углом для треугольника \( \triangle ABE \), следовательно, он равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним: \[\angle BED = \angle BAE + \angle ABE\]

• Угол \( \angle BAE \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( \stackrel{\LARGE{\frown}}{BD} \), следовательно, его градусная мера равна половине градусной меры дуги: \[\angle BAE = \frac{1}{2} \stackrel{\LARGE{\frown}}{BD} = \frac{1}{2} \cdot 132 = 66^{\circ}\]

• Угол \( \angle ABE \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( \stackrel{\LARGE{\frown}}{AC} \), следовательно, его градусная мера равна половине градусной меры дуги: \[\angle ABE = \frac{1}{2} \stackrel{\LARGE{\frown}}{AC} = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24^{\circ}\]

• Тогда \[\angle BED = 66 + 24 = 90^{\circ}\]

Ответ: 90°