Из точки В окружности опущен перпендикуляр ВМ на её диаметр АС, АВ = 4 см. Найдите радиус окружности, если отрезок АМ на 4 см меньше отрезка СМ.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус окружности. Тогда диаметр \( AC = 2R \).

Из условия \( AM = CM - 4 \).

Также \( AC = AM + CM \).

Подставим \( AM \) из первого уравнения во второе: \( AC = (CM - 4) + CM = 2CM - 4 \).

Так как \( AC = 2R \), то \( 2R = 2CM - 4 \). Отсюда \( CM = R + 2 \).

Теперь найдем \( AM \): \( AM = CM - 4 = (R + 2) - 4 = R - 2 \).

Проверим, что \( AM + CM = (R - 2) + (R + 2) = 2R = AC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \) (так как \( \angle ABC = 90° \) как вписанный, опирающийся на диаметр).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) проведена высота \( BM \) к гипотенузе \( AC \).

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, справедливо соотношение: \( AB^2 = AM · AC \).

Подставляем известные значения: \( 4^2 = (R - 2) · (2R) \).

\( 16 = 2R^2 - 4R \).

Разделим все на 2: \( 8 = R^2 - 2R \).

Перенесем все в одну сторону: \( R^2 - 2R - 8 = 0 \).

Это квадратное уравнение относительно \( R \). Решим его с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 · 1 · (-8) = 4 + 32 = 36 \).

\( \sqrt{D} = 6 \).

Найдем корни \( R \):

\( R_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2 · 1} = \frac{8}{2} = 4 \).

\( R_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2 · 1} = \frac{-4}{2} = -2 \).

Радиус не может быть отрицательным, поэтому \( R = 4 \) см.

Проверим условие: \( R = 4 \) см. \( AC = 2R = 8 \) см. \( AM = R - 2 = 4 - 2 = 2 \) см. \( CM = R + 2 = 4 + 2 = 6 \) см. \( AM = 2 \) см, \( CM = 6 \) см. \( 2 \) на \( 4 \) меньше, чем \( 6 \). Условие выполняется.

Ответ: 4 см.