Из точки В окружности проведены диаметр BA и хорда ВС. Касательная к окружности в точке С пересекает прямую АВ в точке К. На луче КС за точку С отмечена точка М, как показано на рисунке. Известно, что ∠CKB = 39°. Найдите градусную меру угла ВСМ.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Свойства касательной и хорды: Угол между касательной KC и хордой BC равен вписанному углу, опирающемуся на дугу BC. Обозначим этот угол как ∠BAC. Таким образом, ∠BCM = ∠BAC.
2. Углы в треугольнике ABС: Так как BA - диаметр, то угол ∠BCA опирается на диаметр и равен 90°. В прямоугольном треугольнике ABC: ∠ABC + ∠BAC = 90°.
3. Углы в треугольнике KBC: В треугольнике KBC, ∠CKB = 39°. Угол ∠KCB является развернутым углом, образованным касательной KC и хордой BC, но это не помогает нам напрямую. Однако, ∠BCK = 180° - ∠BCM.
4. Связь углов: Рассмотрим треугольник KBC. Сумма углов в треугольнике KBC равна 180°. Значит, ∠KCB + ∠CKB + ∠KBC = 180°.
5. Используем свойство касательной: Угол между касательной KC и хордой BC равен углу ∠BAC. То есть, ∠BCM = ∠BAC.
6. Угол ∠ABC: В треугольнике ABC, ∠ABC = 90° - ∠BAC.
7. Угол ∠KBC: Угол ∠KBC совпадает с углом ∠ABC.
8. В треугольнике KBC: Мы знаем ∠CKB = 39°. Пусть ∠BAC = x. Тогда ∠BCM = x. В треугольнике ABC, ∠ABC = 90° - x. Значит, ∠KBC = 90° - x.
9. Сумма углов в KBC: ∠KCB + ∠CKB + ∠KBC = 180°. Угол ∠KCB = 180° - ∠BCM = 180° - x.
10. Подставляем: (180° - x) + 39° + (90° - x) = 180°.
11. 180° - x + 39° + 90° - x = 180°.
12. 309° - 2x = 180°.
13. 2x = 309° - 180°.
14. 2x = 129°.
15. x = 129° / 2 = 64.5°.
16. Таким образом, ∠BAC = 64.5°.
17. Угол ∠BCM = ∠BAC = 64.5°.
18. Проверим: ∠ABC = 90° - 64.5° = 25.5°.
19. В треугольнике KBC: ∠KCB = 180° - 64.5° = 115.5°.
20. Сумма углов: 115.5° + 39° + 25.5° = 180°. Все верно.

Ответ: 64.5°