Из центра окружности О к хорде АВ, равной 20 см, проведен перпендикуляр ОС. Найдите его длину, если ∠OBA = 45°.

Решение:

Рассмотрим треугольник OAB. Так как OA и OB — радиусы окружности, то OA = OB. Следовательно, треугольник OAB — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).

По условию \( \angle OBA = 45^{\circ} \), значит, \( \angle OAB = 45^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол \( \angle AOB \):

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \]

Таким образом, треугольник OAB — прямоугольный, с прямым углом \( \angle AOB = 90^{\circ} \).

OC — перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде AB. В равнобедренном треугольнике OAB, высота OC, проведенная к основанию AB, также является медианой. Это означает, что она делит хорду AB пополам:

\[ AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OCB. У нас есть:

• \( \angle OCB = 90^{\circ} \) (так как OC перпендикуляр к AB)
• \( \angle OBA = 45^{\circ} \) (по условию)
• \( CB = 10 \text{ см} \)

В прямоугольном треугольнике OCB, \( \angle COB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Это означает, что треугольник OCB — равнобедренный прямоугольный треугольник, где OC = CB.

Следовательно, длина перпендикуляра OC равна длине отрезка CB:

\[ OC = CB = 10 \text{ см} \]

Ответ: 10 см.