Из урны, содержащей шары с номерами 1, 2, ..., 9 пять раз наугад вынимают шар и каждый раз возвращают обратно. Найдите вероятность того, что из номеров шаров можно составить возрастающую последовательность.

Решение:

В урне 9 шаров с номерами от 1 до 9. Шар вынимается 5 раз с возвращением.

Общее количество возможных последовательностей равно количеству способов выбрать 5 номеров из 9 с возвращением, то есть $$9^5$$.

Нас интересует вероятность составления возрастающей последовательности. Это означает, что каждый следующий выбранный номер должен быть больше предыдущего. Так как шары возвращаются, возможны повторения номеров, но для возрастающей последовательности они исключены (например, 1, 2, 3, 4, 5).

Таким образом, нам нужно выбрать 5 различных номеров из 9, и эти 5 номеров, будучи выбранными, могут быть расположены только в одном порядке — возрастающем.

Количество способов выбрать 5 различных номеров из 9 равно числу сочетаний из 9 по 5, что обозначается как $$C_9^5$$ или $$\binom{9}{5}$$.

$$\binom{9}{5} = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$$.

Таким образом, количество благоприятных исходов равно 126.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$$P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{C_9^5}{9^5} = \frac{126}{9^5}$$.

Сравним полученный результат с вариантами ответов:

• a. $$\frac{C_{14}^5}{5^9}$$ — некорректно, так как здесь 14 и 5, а не 9 и 5.
• b. $$\frac{C_9^5}{9^{15}}$$ — некорректно, знаменатель $$9^{15}$$, а не $$9^5$$.
• c. нет верных ответов
• d. $$\frac{C_{14}^5}{9^5}$$ — некорректно, так как здесь 14, а не 9.

Ни один из предложенных вариантов не соответствует верному ответу $$\frac{126}{9^5}$$.

Ответ: c. нет верных ответов