Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ BC и угол A острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Введём координаты: расположим диагональ \(AC\) на оси абсцисс, причём \(A=(0,0)\), \(C=(c,0)\).

Пусть \(B=(x,y)\). Так как \(ABCD\) — параллелограмм, диагонали имеют общую середину, поэтому

\[B+D=A+C.\]

Следовательно, \(D=(c-x,-y)\).

Точки \(K\) и \(M\) — основания перпендикуляров на прямую \(AC\), то есть их абсциссы совпадают с абсциссами точек \(B\) и \(D\):

\[K=(x,0),\qquad M=(c-x,0).\]

Рассмотрим противоположные стороны четырёхугольника \(BMDK\):

\[\overrightarrow{BM}=M-B=(c-2x,-y),\]

\[\overrightarrow{DK}=K-D=(2x-c,y)=-\overrightarrow{BM}.\]

Значит, \(BM\parallel DK\).

Кроме того,

\[\overrightarrow{MD}=D-M=(0,-y),\]

\[\overrightarrow{KB}=B-K=(0,y)=-\overrightarrow{MD}.\]

Следовательно, \(MD\parallel BK\).

В четырёхугольнике \(BMDK\) обе пары противоположных сторон параллельны. Поэтому по определению этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: \(BMDK\) — параллелограмм.