Из вершины прямого угла AED (рис. 14) проведены два луча EC и EF так, что ∠AEF = 58°, ∠CED = 49°. Вычислите величину угла CEF.

Решение:

Прямой угол AED равен \( 90^{\circ} \).

Мы знаем, что \( \angle AED = \angle AEF + \angle CEF + \angle CED \).

Подставляем известные значения: \( 90^{\circ} = 58^{\circ} + \angle CEF + 49^{\circ} \).

Складываем известные углы: \( 58^{\circ} + 49^{\circ} = 107^{\circ} \).

Теперь у нас получилось: \( 90^{\circ} = 107^{\circ} + \angle CEF \).

Отсюда видим, что \( \angle CEF = 90^{\circ} - 107^{\circ} = -17^{\circ} \).

Однако, на рисунке видно, что луч EC находится внутри угла AED, а луч EF находится внутри угла CED. Это значит, что \( \angle AED = \angle AEF + \angle FED \) и \( \angle AED = \angle AEC + \angle CED \).

Давайте пересмотрим задачу, исходя из рисунка 14:

\( \angle AED = 90^{\circ} \).

\( \angle AEF = 58^{\circ} \).

\( \angle CED = 49^{\circ} \).

Нам нужно найти \( \angle CEF \).

Из рисунка видно, что \( \angle AED = \angle AEF + \angle FED \). Следовательно, \( \angle FED = \angle AED - \angle AEF = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ} \).

Также видно, что \( \angle FED = \angle FEC + \angle CED \).

Подставляем известные значения: \( 32^{\circ} = \angle FEC + 49^{\circ} \).

Отсюда \( \angle FEC = 32^{\circ} - 49^{\circ} = -17^{\circ} \).

Похоже, что в условии задачи есть ошибка, так как \( \angle CED = 49^{\circ} \) больше, чем \( \angle FED = 32^{\circ} \), что невозможно, если луч EC находится между лучами EF и ED.

Предположим, что порядок лучей AED такой: A, F, C, D.

Тогда \( \angle AED = \angle AEF + \angle FEC + \angle CED \).

\( 90^{\circ} = 58^{\circ} + \angle FEC + 49^{\circ} \).

\( 90^{\circ} = 107^{\circ} + \angle FEC \).

\( \angle FEC = 90^{\circ} - 107^{\circ} = -17^{\circ} \).

Предположим, что порядок лучей AED такой: A, C, F, D.

Тогда \( \angle AED = \angle AEC + \angle CEF + \angle FED \).

Нам известно \( \angle AEF = 58^{\circ} \) и \( \angle CED = 49^{\circ} \).

\( \angle AEC = \angle AED - \angle CED = 90^{\circ} - 49^{\circ} = 41^{\circ} \).

\( \angle AEF = \angle AEC + \angle CEF \).

\( 58^{\circ} = 41^{\circ} + \angle CEF \).

\( \angle CEF = 58^{\circ} - 41^{\circ} = 17^{\circ} \).

Ответ: \( 17^{\circ} \).