Из вершины прямого угла С прямоугольного треугольника АВС, у которого ∠B = 30°, AB = 36 см, проведена высота СН. Найдите длину отрезка HB.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \)

• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• \( \angle B = 30^{\circ} \)
• \( AB = 36 \) см

Так как сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), то \( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Высота \( CH \) проведена к гипотенузе \( AB \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle CHB \).

• \( \angle CHB = 90^{\circ} \) (так как \( CH \) — высота)
• \( \angle B = 30^{\circ} \)

В прямоугольном треугольнике \( \triangle CHB \) катет \( CH \) лежит напротив угла \( 30^{\circ} \), поэтому \( CH = \frac{1}{2} HB \).

Также, в прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), катет \( AC \) лежит напротив угла \( 30^{\circ} \), поэтому \( AC = \frac{1}{2} AB \).

\( AC = \frac{1}{2} \cdot 36 \text{ см} = 18 \text{ см} \).

Теперь найдём катет \( BC \) по теореме Пифагора или через тригонометрию.

Используя тригонометрию в \( \triangle ABC \):

\( \cos B = \frac{BC}{AB} \)

\( \cos 30^{\circ} = \frac{BC}{36} \)

\( BC = 36 \cdot \cos 30^{\circ} = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \text{ см} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle CHB \).

Нам нужно найти \( HB \). Мы знаем \( BC = 18\sqrt{3} \text{ см} \) и \( \angle B = 30^{\circ} \).

В \( \triangle CHB \):

\( \cos B = \frac{HB}{BC} \)

\( \cos 30^{\circ} = \frac{HB}{18\sqrt{3}} \)

\( HB = 18\sqrt{3} \cdot \cos 30^{\circ} = 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 9 \cdot 3 = 27 \text{ см} \).

Проверим с вариантом ответа 1) 27 см.

Также можно использовать свойство высоты прямоугольного треугольника: \( CH^2 = AH \cdot HB \) и \( AC^2 = AH \cdot AB \), \( BC^2 = HB \cdot AB \).

Используем \( BC^2 = HB \cdot AB \):

\( (18\sqrt{3})^2 = HB \cdot 36 \)

\( 18^2 \cdot 3 = HB \cdot 36 \)

\( 324 \cdot 3 = HB \cdot 36 \)

\( 972 = HB \cdot 36 \)

\( HB = \frac{972}{36} = \frac{972/18}{36/18} = \frac{54}{2} = 27 \text{ см} \).

Результат совпадает.

Ответ: 1) 27 см.