Решение

Пусть дан развернутый угол DOC, который разделен лучами OK и ON на три равные части: ∠DOK = ∠KON = ∠NOC.

Биссектриса ОА среднего угла KON делит его на два равных угла: ∠KOA = ∠NOA.

Поскольку ∠KON = ∠DOK = ∠NOC, а ∠KOA = ∠NOA = 1/2 ∠KON, то ∠KOA = ∠NOA = 1/2 ∠KON = 1/2 ∠DOK = 1/2 ∠NOC.

Докажем, что биссектриса ОА перпендикулярна сторонам DO и OC развернутого угла DOC.

Угол DOA состоит из углов DOK и KOA. Так как ∠DOK = 2∠KOA, то

$$ ∠DOA = ∠DOK + ∠KOA = 2∠KOA + ∠KOA = 3∠KOA. $$

Угол AOC состоит из углов NOC и NOA. Так как ∠NOC = 2∠NOA, то

$$ ∠AOC = ∠NOC + ∠NOA = 2∠NOA + ∠NOA = 3∠NOA. $$

Так как угол DOC развернутый, то ∠DOC = 180°. ∠DOC состоит из углов DOK, KON и NOC. Следовательно,

$$ ∠DOC = ∠DOK + ∠KON + ∠NOC = 180°. $$

По условию ∠DOK = ∠KON = ∠NOC, значит, ∠DOK = ∠KON = ∠NOC = 180°/3 = 60°.

Тогда ∠DOA = ∠AOC = ∠DOK + ∠KOA = 60° + 60°/2 = 60° + 30° = 90°.

Следовательно, биссектриса OA перпендикулярна сторонам DO и OC развернутого угла DOC, так как ∠DOA = ∠AOC = 90°.