Из вершины развёрнутого угла проведены два луча, которые делят его на три равные части. Доказать, что биссектриса среднего угла перпендикулярна сторонам развёрнутого угла.

Пусть стороны развёрнутого угла — противоположные лучи \(OA\) и \(OB\), а проведённые лучи — \(OC\) и \(OD\). Развёрнутый угол равен \(180^\circ\), поэтому каждая из трёх равных частей равна \(180^\circ:3=60^\circ\).

Биссектриса среднего угла делит его пополам: каждая половина равна \(60^\circ:2=30^\circ\). От стороны \(OA\) до биссектрисы получается угол \(60^\circ+30^\circ=90^\circ\). Следовательно, биссектриса перпендикулярна \(OA\). Так как \(OA\) и \(OB\) лежат на одной прямой, биссектриса перпендикулярна и стороне \(OB\).

Доказано.