Из вершины тупого угла параллелограмма на две его противоположные стороны опустили высоты. Оказалось, что образованный этими высотами треугольник составляет одну восьмую от площади всего параллелограмма. Найдите острый угол параллелограмма.

Обозначим острый угол параллелограмма через \(\alpha\), а длины его соседних сторон — через \(a\) и \(b\).

1. Высоты, опущенные из вершины на противоположные стороны, равны \(a\sin\alpha\) и \(b\sin\alpha\). Угол между высотами равен \(\alpha\).
2. Площадь треугольника, образованного высотами и отрезком между их основаниями: \(S_{\triangle}=\frac12(ab\sin^2\alpha)\sin\alpha=\frac12ab\sin^3\alpha\).
3. Площадь параллелограмма: \(S_{п}=ab\sin\alpha\). Поэтому \(\frac{S_{\triangle}}{S_{п}}=\frac12\sin^2\alpha=\frac18\).
4. Отсюда \(\sin^2\alpha=\frac14\). Так как угол острый, \(\sin\alpha=\frac12\), значит, \(\alpha=30^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\).