Из вершины В квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр SB к плоскости квадрата. Найди тангенс угла между плоскостями (SDC) и (АВС), если SB = BD = 6. Выбери верный вариант.

Ответ: \[\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Решение:

• Пусть сторона квадрата равна а. Тогда, по условию, диагональ квадрата BD = 6.
• Выразим диагональ квадрата через его сторону: \[BD = a\sqrt{2}\]
• Подставим значение диагонали: \[a\sqrt{2} = 6\]
• Найдем сторону квадрата: \[a = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\]
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой SB, половиной стороны квадрата и линией, соединяющей вершину S с серединой стороны CD.
• Тангенс угла между плоскостями (SDC) и (ABC) равен отношению SB к половине стороны квадрата.
• Половина стороны квадрата: \[\frac{a}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\]
• Найдем тангенс угла: \[tg \varphi = \frac{SB}{\frac{a}{2}} = \frac{6}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{6 \cdot 2}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\]

Ответ: \[\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Решение:

• Тангенс угла \(\varphi\) между плоскостями (SDC) и (ABC) определяется как отношение перпендикуляра SB к половине стороны квадрата ABCD.
• Поскольку SB = BD = 6, и BD является диагональю квадрата, можно найти сторону квадрата. Если сторона квадрата равна a, то диагональ \( BD = a\sqrt{2} \). Следовательно, \( a\sqrt{2} = 6 \), и \( a = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой SB, половиной стороны квадрата и линией, соединяющей вершину S с серединой стороны CD.
• Тангенс угла между плоскостями (SDC) и (ABC) равен отношению SB к половине стороны квадрата.
• Половина стороны квадрата: \[\frac{a}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\]
• Тогда тангенс угла \(\varphi\) равен: \[ tg(\varphi) = \frac{SB}{\frac{a}{2}} = \frac{6}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{6 \cdot 2}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \]

Ответ: \[\frac{\sqrt{2}}{2}\]