170 Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости с, проведён к этой плоскости перпендикуляр ВВ1- Найдите расстояния от точки В до прямой АС и до плоскости а, если АВ = 2 см, ∠BAC= 150° и двугранный угол ВАСВ₁ равен 45°.

Решение:

1. Расстояние от точки B до плоскости α – это длина перпендикуляра BB₁. Рассмотрим прямоугольный треугольник BAB₁:

• AB = 2 см
• ∠BAB₁ = 45° (двугранный угол между плоскостями (ABC) и α)

Поскольку ∠BAB₁ = 45°, треугольник BAB₁ является равнобедренным, и BB₁ = AB₁.

Используем синус угла для нахождения BB₁:

\[ BB_1 = AB \cdot sin(∠BAB_1) = 2 \cdot sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]

Таким образом, расстояние от точки B до плоскости α равно √2 см.

2. Расстояние от точки B до прямой AC – это длина перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AC. Обозначим этот перпендикуляр как BH. Рассмотрим треугольник ABH:

• AB = 2 см
• ∠BAC = 150°

Используем синус угла для нахождения BH:

\[ BH = AB \cdot sin(∠BAC) = 2 \cdot sin(150^\circ) = 2 \cdot sin(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \]

Таким образом, расстояние от точки B до прямой AC равно 1 см.