Из восьми точек на плоскости ровно три лежат на одной прямой. Через каждую пару точек провели прямую. Сколько всего получилось прямых?

Всего у нас 8 точек. Если бы никакие три точки не лежали на одной прямой, то число прямых, которые можно провести через каждую пару точек, было бы равно числу сочетаний из 8 по 2:

$$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$

Однако три точки лежат на одной прямой. Это означает, что вместо трех прямых (которые можно было бы провести через каждую пару из этих трех точек) у нас есть только одна прямая. Три точки образуют $$C_3^2$$ пары:

$$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$$

Итак, три точки, лежащие на одной прямой, вместо 3 прямых дают 1 прямую. Значит, число прямых уменьшается на 2.

Общее число прямых будет:

$$28 - 3 + 1 = 26$$

Ответ: 26 прямых.