Из заданного соотношения выразите переменную у через переменную х. Будет ли полученное соотношение задавать функцию?

Решение:

Чтобы определить, будет ли соотношение задавать функцию \( y \) от \( x \), нам нужно преобразовать каждое уравнение так, чтобы \( y \) выражался через \( x \). Если для каждого значения \( x \) существует только одно значение \( y \), то это функция.

а) \( 3x+4y=12 \)

1. Вычтем \( 3x \) из обеих частей уравнения: \( 4y = 12 - 3x \)


2. Разделим обе части на 4: \( y = \frac{12 - 3x}{4} \)


3. Упростим: \( y = 3 - \frac{3}{4}x \)

Для каждого значения \( x \) получается только одно значение \( y \). Следовательно, это соотношение задаёт функцию.

б) \( 2xy + y = -7 \)

1. Вынесем \( y \) за скобки: \( y(2x + 1) = -7 \)


2. Разделим обе части на \( (2x + 1) \), при условии, что \( 2x + 1 \neq 0 \) (т.е. \( x \neq -\frac{1}{2} \)): \( y = \frac{-7}{2x + 1} \)

Для каждого значения \( x \) (кроме \( x = -\frac{1}{2} \)) получается только одно значение \( y \). Следовательно, это соотношение задаёт функцию.

в) \( 6y - 5x + 1 = 0 \)

1. Перенесём \( -5x + 1 \) в правую часть: \( 6y = 5x - 1 \)


2. Разделим обе части на 6: \( y = \frac{5x - 1}{6} \)


3. Упростим: \( y = \frac{5}{6}x - \frac{1}{6} \)

Для каждого значения \( x \) получается только одно значение \( y \). Следовательно, это соотношение задаёт функцию.

г) \( \frac{9}{xy} - 4 = 3x \)

1. Прибавим 4 к обеим частям: \( \frac{9}{xy} = 3x + 4 \)


2. Перемножим крест-накрест (при условии \( xy \neq 0 \) и \( 3x + 4 \neq 0 \)): \( 9 = xy(3x + 4) \)


3. Выразим \( y \), разделив обе части на \( x(3x+4) \) (при условии \( x \neq 0 \) и \( x \neq -\frac{4}{3} \)): \( y = \frac{9}{x(3x + 4)} \)

Для каждого значения \( x \) (кроме \( x=0 \) и \( x=-\frac{4}{3} \)) получается только одно значение \( y \). Следовательно, это соотношение задаёт функцию.

Ответ: а) \( y = 3 - \frac{3}{4}x \) — функция; б) \( y = \frac{-7}{2x + 1} \) — функция; в) \( y = \frac{5}{6}x - \frac{1}{6} \) — функция; г) \( y = \frac{9}{x(3x + 4)} \) — функция.